Révisions d’algèbre bilinéaire

Conçue comme un véritable sujet de concours, je vous propose une révision « interactive » sur les thèmes d’algèbre bilinéaire et polynômes, thèmes souvent posés aux concours des prépa’ commerciales depuis les dernières années. Cet article vous aidera à mieux cerner votre cours d’algèbre et à bien préparer vos révisions.

E désigne l’espace vectoriel des fonctions continues sur [0,1] et E_n le sous-espace vectoriel de E formé des fonctions polynomiales définies sur [0,1] et de degré inférieur ou égal à n-1.

On désigne par \vec{e_i} le monôme X^{i-1}, ou i \in[1,n], rappelons que (\vec{e_i})_{1 \leq i \leq n} est la base canonique de E_n.

1) Montrer que : < f,g > = \int_{0}^{1}f(t)g(t)dt définit un produit scalaire sur E.

En déduire que ( E_n , < , >) est un espace euclidien. On notera || || la norme associée au produit scalaire < , >.

2) Soit la matrice carrée d’ordre n, H_n = (h_{ij})_{1 \leq i,j \leq n} dont les coefficients h_{ij} sont définis par :

h_{ij} = \frac{1}{i+j-1}

Montrer que H_n est diagonalisable.

3) Si P(X) = \sum_{k=1}^{n}a_kX^{k-1} = \sum_{k=1}^{n}a_k \vec{e_k}

et Q(X) = \sum_{k=1}^{n}b_kX^{k-1} = \sum_{k=1}^{n}b_k \vec{e_k} sont deux polynômes de E_n. On désigne par

A = \begin{pmatrix}a_1\\<br /> .\\<br /> .\\<br /> .\\<br /> a_n\\<br /> \end{pmatrix} et B = \begin{pmatrix}b_1\\<br /> .\\<br /> .\\<br /> .\\<br /> b_n\\<br /> \end{pmatrix} les matrices colonnes représentant les coordonnées de P et de Q dans la base (\vec{e_i})_{1 \leq i \leq n} de E_n. On dit que P est le polynôme associé à A.

Montrer que <P,Q> = {t}_{AH_nB}

4) En déduire que les valeurs propres de H_n sont strictement positives. La matrice H_n est-elle inversible ?

5) Pour tout f \in E, on pose \beta_i = < \vec {e_i}, f> et on considère \beta et A_o définies par :

\beta = \begin{pmatrix}\beta_1\\<br /> .\\<br /> .\\<br /> .\\<br /> \beta_n\\<br /> \end{pmatrix} et A_o = {H_n}^{-1} \beta

On pose A = \begin{pmatrix}\alpha_1\\<br /> .\\<br /> .\\<br /> .\\<br /> \alpha_n\\<br /> \end{pmatrix} .

On définit en outre P_o(X) = \sum_{k=1}^{n}\alpha_k \vec{e_k} = \sum_{k=1}^{n}\alpha_k X^{k-1} , qui n’est autre que le polynôme associé à A_o.

Soit d : E_n -> R^+ définie par d(P) = ||P-f||

Montrer que pour tout k \in [1,n] <\vec {e_k} , P_o-f> = 0.

En déduire que pour tout Q \in E_n, <Q , P_o-f> = 0.

6) Montrer que pour tout P de E_n,

||P-f||² = ||P-P_o|| + ||P_o-f||²

7) Montrer que d admet un minimum et qu’il est atteint en P_o et en P_o seulement.

8 ) Montrer que ||P_o-f||² = ||f||² – ||P_o||²

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